Aksiom i teorem
Aksiom je izjava koja se smatra istinitim, temeljena na logici; međutim, to se ne može dokazati ili pokazati jer se jednostavno smatra samozbiljnim. Uglavnom, sve što je izjavilo da je istinito i prihvaćeno, ali nema nikakvih dokaza ili ima neki praktičan način dokazivanja, jest aksiom. Također se ponekad naziva i postulat ili pretpostavka.
Aksiomska osnova za njezinu istinu često se ne uzima u obzir. Jednostavno je i nema potrebe dalje razmotriti. Međutim, mnogi aksiomi još uvijek izazivaju razni umovi, a samo će vrijeme pokazati jesu li oni pukotine ili genije.
Aksiomi se mogu kategorizirati kao logički ili ne-logični. Logični aksiomi su univerzalno prihvaćeni i valjani izjave, dok su ne-logični aksiomi obično logični izrazi koji se koriste u izgradnji matematičkih teorija.
Mnogo je lakše razlikovati aksiom u matematici. Aksiom je često izjava koja pretpostavlja da je istinita radi izražavanja logičkog slijeda. Oni su glavni građevni blokovi dokaznih izjava. Aksiomi služe kao polazište ostalih matematičkih izjava. Te izjave, koje su izvedene iz aksioma, nazivaju se teoremi.
Teorem, po definiciji, je izjava dokazana na temelju aksioma, drugih teorema, i nekih skup logičkih povezivanja. Teoremi su često dokazani strogim matematičkim i logičkim zaključivanjem, a proces prema dokazu, naravno, uključuje jedan ili više aksioma i drugih izjava koje su već prihvaćene da budu istinite.
Teoremi se često izražavaju kako bi bili izvedeni, a ta se izvodi smatraju dokazom izraza. Dvije komponente dokaza teorema nazivaju se hipoteza i zaključak. Valja napomenuti da su teoremi češće izazvane od aksioma, jer su podložni više tumačenja i različitih metoda izvedbe.
Nije teško razmatrati neke teoreme kao aksiome, budući da postoje druge tvrdnje koje intuitivno pretpostavljaju da su istinite. Međutim, oni su više prikladno smatrani teoremima, s obzirom na činjenicu da se oni mogu izvesti putem načela oduzimanja.
Sažetak:
1. Aksiom je izjava koja se pretpostavlja da je istina bez ikakvog dokaza, dok se teorija podliježe dokazivanju prije nego što se smatra istinitom ili lažnom.
2. Aksiom je često očit, dok će teorija često zahtijevati druge tvrdnje, poput drugih teorija i aksioma, da postanu valjane.
3. Teoremi su, naravno, izazvani više od aksioma.
4. U osnovi, teoremi su izvedeni iz aksioma i skup logičkih povezivanja.
5. Aksiomi su osnovni građevni blokovi logičkih ili matematičkih izjava, jer služe kao polazišta točaka.
6. Aksiomi mogu biti kategorizirani kao logički ili ne-logični.
7. Dvije komponente dokaza teorema nazivaju se hipoteza i zaključak.
